sábado, 18 de julho de 2015
segunda-feira, 6 de julho de 2015
Números Perfeitos e Santo Agostinho
Pitágoras (~571 - 497 a.C.) e os seus discípulos deram particular atenção aos números perfeitos. Um número perfeito é aquele cujos divisores têm como soma o próprio número.
Por exemplo, os divisores de 6 são 1, 2 e 3, portanto 6 é um número perfeito porque 1+2+3=6. O número perfeito seguinte é 28 pois os seus divisores são 1, 2, 4, 7 e 14 cuja soma 1+2+4+7+14=28. À medida que os números inteiros se tornam maiores, os números perfeitos são mais difíceis de encontrar. O terceiro número perfeito é 496, o quarto é 8.128, o quinto é 33.550.336, o sexto é 8.589.869.056, etc.
Além de ter um significado matemático para os pitagóricos, a perfeição dos números 6 e 28 era reconhecida por outras culturas que notavam que a Lua tem uma órbita com um período de 28 dias e que Deus tinha criado o mundo em 6 dias.
Na "Cidade de Deus", Santo Agostinho (354 - 430 d.C.) diz que embora Deus pudesse ter criado o mundo num instante, tinha decidido fazê-lo em 6 dias como testemunho da perfeição do Universo. No entanto, observa que 6 não é perfeito porque Deus o escolheu, mas porque a perfeição é inerente à natureza do número:
<< 6 é um número perfeito por si mesmo, e não porque Deus criou todas as coisas em seis dias: na verdade, o inverso é que é o verdadeiro; Deus criou todas as coisas em seis dias porque este número é perfeito. E permaneceria perfeito mesmo se o trabalho dos seis dias não existisse>>.
Referência
“O Último Teorema de Fermat”, Simon Singh, Relógio de Água, 1998.
Por exemplo, os divisores de 6 são 1, 2 e 3, portanto 6 é um número perfeito porque 1+2+3=6. O número perfeito seguinte é 28 pois os seus divisores são 1, 2, 4, 7 e 14 cuja soma 1+2+4+7+14=28. À medida que os números inteiros se tornam maiores, os números perfeitos são mais difíceis de encontrar. O terceiro número perfeito é 496, o quarto é 8.128, o quinto é 33.550.336, o sexto é 8.589.869.056, etc.
Além de ter um significado matemático para os pitagóricos, a perfeição dos números 6 e 28 era reconhecida por outras culturas que notavam que a Lua tem uma órbita com um período de 28 dias e que Deus tinha criado o mundo em 6 dias.
Na "Cidade de Deus", Santo Agostinho (354 - 430 d.C.) diz que embora Deus pudesse ter criado o mundo num instante, tinha decidido fazê-lo em 6 dias como testemunho da perfeição do Universo. No entanto, observa que 6 não é perfeito porque Deus o escolheu, mas porque a perfeição é inerente à natureza do número:
<< 6 é um número perfeito por si mesmo, e não porque Deus criou todas as coisas em seis dias: na verdade, o inverso é que é o verdadeiro; Deus criou todas as coisas em seis dias porque este número é perfeito. E permaneceria perfeito mesmo se o trabalho dos seis dias não existisse>>.
Referência
“O Último Teorema de Fermat”, Simon Singh, Relógio de Água, 1998.
Um Exemplo de Crescimento Exponencial
Este exemplo é descrito por Leonard Smith (professor da London School of Economics) no livro "Chaos", Oxford University Press, 2007.
"Há alguns meses, recebi o email de um velho amigo da escola primária. Continha um outro email remetido por uma aluna da 3ª classe, Miss Nagel, de uma escola primária da Carolina do Norte, cuja turma estava a estudar geografia. Solicitava que quem lesse a mensagem respondesse para o email da escola dizendo onde vivia, para que os alunos localizassem a residência no mapa-globo da escola. Pedia também que cada leitor enviasse o email a 10 amigos.
Não reenviei a mensagem para ninguém, mas escrevi um email para a turma de Miss Nagel dizendo que eu estava em Oxford, Inglaterra. Sugeri, também, que falassem com o seu professor de matemática acerca da experiência e que a usassem como um exemplo ilustrativo do crescimento exponencial: se enviassem a mensagem para 10 pessoas, e no dia seguinte cada pessoa a enviasse para mais dez pessoas, no 3º dia haveria 100 emails, no 4º dia 1000 e, após cerca de uma semana, mais emails do que endereços de email existentes. Num sistema real, o crescimento exponencial não pode continuar indefinidamente: nós esgotamos eventualmente o arroz, ou o espaço do jardim, ou novos endereços de email. São muitas vezes os recursos que limitam o crescimento: mesmo um luxuriante jardim apenas fornece uma quantidade limitada de comida para coelhos. Há limites para o crescimento os quais restringem as populações, se não os nossos modelos de populações.
Nunca soube se a classe de Miss Nagel aprendeu a lição sobre crescimento exponencial. A única resposta que recebi foi uma mensagem automática informando que a caixa de entrada de emails para a escola tinha excedido a sua quota e tinha sido encerrada"
"Há alguns meses, recebi o email de um velho amigo da escola primária. Continha um outro email remetido por uma aluna da 3ª classe, Miss Nagel, de uma escola primária da Carolina do Norte, cuja turma estava a estudar geografia. Solicitava que quem lesse a mensagem respondesse para o email da escola dizendo onde vivia, para que os alunos localizassem a residência no mapa-globo da escola. Pedia também que cada leitor enviasse o email a 10 amigos.
Não reenviei a mensagem para ninguém, mas escrevi um email para a turma de Miss Nagel dizendo que eu estava em Oxford, Inglaterra. Sugeri, também, que falassem com o seu professor de matemática acerca da experiência e que a usassem como um exemplo ilustrativo do crescimento exponencial: se enviassem a mensagem para 10 pessoas, e no dia seguinte cada pessoa a enviasse para mais dez pessoas, no 3º dia haveria 100 emails, no 4º dia 1000 e, após cerca de uma semana, mais emails do que endereços de email existentes. Num sistema real, o crescimento exponencial não pode continuar indefinidamente: nós esgotamos eventualmente o arroz, ou o espaço do jardim, ou novos endereços de email. São muitas vezes os recursos que limitam o crescimento: mesmo um luxuriante jardim apenas fornece uma quantidade limitada de comida para coelhos. Há limites para o crescimento os quais restringem as populações, se não os nossos modelos de populações.
Nunca soube se a classe de Miss Nagel aprendeu a lição sobre crescimento exponencial. A única resposta que recebi foi uma mensagem automática informando que a caixa de entrada de emails para a escola tinha excedido a sua quota e tinha sido encerrada"
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